Muestreo sin reemplazo

También denominado Muestreo sin reemplazamiento o Muestreo irrestricto.

Es un método en el cual los miembros de la muestra no se regresan a la población antes de elegir a los miembros siguientes.

Procedimiento de muestreo en el que los elementos no se regresan a la población después de ser elegidos, de tal forma que ningún elemento de la población puede aparecer en la muestra de una vez.

Se realiza muestreo sin reemplazo cuando en el muestreo aleatorio cada una de las sucesivas unidades muéstrales son excluidas de la población antes de ser extraída la siguiente. A este tipo de muestreo también se le denomina en poblaciones finitas, porque al incrementar el tamaño de la muestra la población —cuando consta de un número finito de elementos— termina por agotarse.

En el muestreo sin reemplazo no se devuelven los elementos extraídos a la población hasta que no se hallan extraídos todos los elementos de la población que conforman la muestra.

En un muestreo sin reposición o muestreo sin reemplazamiento, las unidades se extraen una a una de la población, y la unidad seleccionada en cualquier extracción no se devuelve a la población antes de seleccionar una unidad en la siguiente extracción.

Muestreo aleatorio simple sin reposición

En este tipo de muestreo aleatorio simple, el elemento extraído de la población queda descartado de cara a la siguiente extracción. Es decir, un elemento sólo puede aparecer una vez en la muestra. Si, por ejemplo, pretendemos seleccionar a 50 de los 858 Centros de Enseñanzas Medias que existían en la Comunidad Autónoma Andaluza en el curso 1992/93 para llevar a cabo un estudio sobre este nivel educativo, y los hemos numerado del 1 al 858, no tendría sentido extraer una muestra en la que se repitiera algún Centro, puesto que en la práctica por cada repetición tendríamos un Centro menos del número que deseábamos seleccionar. En esta situación, cada Centro seleccionado debería ser excluido de la población antes de seleccionar a otro.

En el muestreo aleatorio simple sin reposición, la probabilidad de que un elemento de la población sea elegido para formar parte de la muestra es, en la primera elección 1/N, siendo N el tamaño de la población. La probabilidad que tienen los N-l elementos restantes de ser elegidos en la segunda extracción será 1/(N-l), y tras ésta, la probabilidad de ser elegido es l/(N-2). En general, en la enésima extracción, cada elemento de la población posee una probabilidad de ser elegido igual a:

1((N-(n-1))

Es decir, la probabilidad de ser elegido es igual para todos los Centros en cada extracción. Sin embargo, de una extracción a otra, la probabilidad depende del número de extracciones que se hayan realizado hasta el momento.

La probabilidad de obtener una muestra (e1, e2, ... en) cualquiera, o sea, la probabilidad de que el elemento e1 sea elegido en primer lugar, el elemento e2 en segundo, ... y el elemento en en enésimo lugar vendrá dada por la probabilidad conjunta que calculamos como producto de las probabilidades respectivas para la elección de cada elemento de la muestra:

1/N · 1/(N-1)· 1/(N-2)· ... · 1/(N-(n-1))

Puede comprobarse que le valor de este cálculo es:

(N-n)!/N!

Por tanto, la probabilidad que tiene una muestra de ser elegida, de acuerdo con un muestreo aleatorio simple sin reposición, viene expresada como:

1/(N!/(N-n)!)

donde el denominador corresponde precisamente al número de variaciones sin repetición de tamaño n, que es posible obtener a partir de un conjunto de N elementos. Las variaciones sin repetición de orden n a partir de N elementos representan las muestras ordenadas de n elementos que pueden ser extraídas en la población de tamaño N.

De acuerdo con esto, en el muestreo aleatorio simple sin reposición no sólo todos los elementos tienen idéntica probabilidad de ser elegidos en cada extracción, sino que todas las muestras ordenadas posibles de un mismo tamaño son además equiprobables. Veámoslo en un caso concreto. Sean los elementos a, b, c y d, de entre los cuales extraemos muestras de 2 elementos sin reposición. Las muestras ordenadas posibles serán:

a,b b,c c,d d,a
a,c b,d c,a d,b
a,d b,a c,b d,c

Es decir, un total de 12 muestras ordenadas. El número de muestras puede calcularse por la fórmula:

N!/(N-n)! = 4!/(4-2)! = (4·3·2·1)/(2·1) = 12