Geometrías no euclidianas

Se suele conocer con este nombre a las geometrías que satisfacen todos los postulados de Euclides, excepto el quinto, denominado de las paralelas. La versión más conocida de este postulado dice quepor un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta. La negación de este postulado permite su reemplazo por cualquiera de estos otros:

1. Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela a dicha recta

2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar más de una paralela a dicha recta

El primer caso (geometría elíptica), fue desarrollado por Riemann, y admite una interpretación sencilla, tomando como plano a la superficie de la esfera, y considerando como rectas a los círculos máximos (geodésicas). En rigor, para que se cumplan los demás postulados de Euclides, es preciso identificar los puntos antipódicos de la esfera, considerándolos como un único punto.

El segundo caso (geometría hiperbólica) corresponde a la geometría de Gauss, Bolyai y Lovachevski. Un modelo posible consiste en tomar el interior de una elipse, y definir allí una noción de distancia. Las rectas de este modelo serán las rectas del plano, pero limitándolas a la porción que atraviesa el interior de la elipse. Es evidente que dos de estos segmentos pueden no cortarse, sin ser por ello paralelos en el sentido euclidiano.