Grupo fundamental

Dado un espacio topológico X, se puede formar el conjunto de todos los lazos en X que salen de un cierto punto, considerando como equivalentes a dos lazos que se puedan superponer mediante una homotopía (es decir, tales que se pueda deformar a uno de ellos en forma continua hasta obtener el otro). A dicho conjunto se le asigna una estructura (algebraica) de grupo, lo que determina el llamado grupo fundamental de X. Se trata de un invariante topológico muy útil. Por ejemplo, el grupo fundamental de una circunferencia es Z, el conjunto de los números enteros (Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}), hecho que resulta claro pues todo lazo cerrado sobre la circunferencia está determinado unívocamente por la cantidad de vueltas, y el sentido en que se las recorre. El grupo fundamental de un toro es Z x Z, pues en este caso deben tenerse en cuenta las vueltas dadas alrededor del agujero, y también a través del mismo. Este resultado es, claro está, coherente con el hecho de que el toro puede pensarse como el producto cartesiano de dos circunferencias (ver: toro)