Condiciones de linealidad

Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y’,..., y^(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y’,..., y^(n-1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma:

En esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

• La variable dependiente y todas sus derivadas (y’, ..., y^(n-1)) son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.
• Cada coeficiente a_i solo depende de x, que es la variable independiente.

Una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.

Una ecuación diferencial lineal cumple con las dos condiciones siguientes:

a) La variable dependiente "y" y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Cada coeficiente depende solo de la variable independiente "x".